[青桐鸣]2025届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣高二联考(3月)数学(北师大版)试题

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14.已知函数f(x)=x2-log6x(a>0,b>0,b≠1)，若f(x)≥1恒成立，则ab的最小值为▲·答案：e解折：易知/(x)在(0，+0)是连续可导函数f(x)=a1-1xInbnb'所以ab=b电2上，必有=a=0,海a=了Inb段a0m，3四n当a0.e时，g四0，gs)当x∈(e,+oo)时，8'(x)>0,8(x)递增，所以g(x)mn=g(e)=e.所以ab的最小值为e,当且仅当b=e,a=1时取等号.此时f(x)=x-lnx≥l恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(13分)图，三校柱ABC4BC中，侧面ABB,4是边长为2的菱形，ABB}AC=2W2,M为A,B,中点，CM=11.(1)证明：面ABC⊥面ABB,A,:(2)若BC=2,求面ABC与面ABC,夹角的余弦值，H(第15题图)(第15图答题图1)(第15题答题图2)解析：(1)连接AM,AB1.在菱形ABB,A中，AA=4B，∠AAB=,所以△1AB为正三角形.又因为M为A,B,中点，所以AM=5且AM⊥AB,因为AB‖A,B,所以AM⊥AB.---2分因为AM2+AC2=CM2,所以AM⊥AC、-3分又因为AB,ACC面ABC,AB∩AC=A,所以AM⊥面ABC.--4分又AMC面ABB,A,所以面ABC⊥面ABB,A.-5分(2)因为BC2+BA2=AC2,所以CB⊥AB.又面ABC⊥面ABBA,面ABC∩面ABBA=AB,CBC面ABC,所以BC⊥面ABB,A,·-7分取BB,中点O,连接AO,作OH I BC,交CC,于H,则OA,OB,OH两两垂直、如图，分别以OA,OB,OH为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-yz.-----则AV50,0),B(0,-1,0),C(0,-12),C(0,12),M5022BA=(N51,0）,BC=(0,2,2).-9分高三数学试题第6页（共11页）